Линейный гармонический осциллятор
Учим химию / Учим химию / Линейный гармонический осциллятор Линейный гармонический осциллятор
Страница 5

Табл.2.

Полиномы Эрмита и волновые функции гармонияеского

осциллятора

υ

Корни полиномов

Графики полиномов

Графики волновых функций .

0

1

-

   

1

2s

0

   

2

4s

2 - 2

±1/√2

   

3

8s

3 - 12 s

0; ±3/2

   

4

16s

4-48s

2+12

±0,525; ±1,651

   

Читатель может сам получить формулу для нормировочных коэффициентов или взять их готовое выражение:

. (3.108)

3.5.14.

Прямыми вычислениями нетрудно еще раз проверить свойство ортогональности волновых функций. Интегрирование по всей области возможных значений переменной хдает:

, (3.109)

что наглядно видно из графиков табл. 2

Напомним, что свойство ортогональности – это общее свойство собствен-ных функций любого эрмитова оператора, к числу которых относится и гамильтониан.

3.5.15.

Все полиномы Эрмита и порождаемые ими волновые функции делятся на два класса – четные и нечетные. Ранее подобное свойство наблюдалось у волновых функций “ящика” и “ротатора”. Анализ четности волновых функций и их произведений оказывается очень полезным при оценке различных характеристик системы. Рассмотрим это на примерах.

Покажем, что среднее отклонение колеблющейся системы от положения равновесия равно нулю. Следуя 5-му постулату, запишем для υ

=0:

. (3.110)

Подинтегральное выражение нечетное, так как образовано в виде произве-дения по правилу (чет × нечет × чет)

. Интеграл, взятый в симметричных пределах от нечетной функций, тождественно равен нулю, так что . Это же имеет место и для других состояний.

3.5.16.

Иначе обстоит дело со среднеквадратичным отклонением , на-зываемым среднеквадратичной амплитудой осциллятора. Произведем соответ-ствующие расчеты; вновь обращаясь к 5-му постулату:

, (3.111)

(3.112)

В преобразовании (3.112) использован табличный интеграл

. (3.113)

3.5.17.

Сравним среднеквадратичное отклонение с квадратом ампли-туды, предсказываемой на основе формулы, связывающей классическое и квантово-механическое выражение для полной энергии:

Страницы: 1 2 3 4 5 6

Смотрите также

Синтез 4-бром-4’-гидроксибифенила
Настоящая работа посвящена синтезу 4-бром-4’-гидроксибифенила. Это соединение является важным реагентом для синтеза ферроценсодержащих жидких кристаллов. Введение в молекулу ферроцена бифени ...

Железо
В периодической системе железо находится в четвертом периоде, в побочной подгруппе VIII группы. Химический знак – Fe (феррум). Порядковый номер – 26, электронная формула 1s2 2s2 2p6 3d6 ...

Серебро
47 Ag 1 18 18 8 2 СЕРЕБРО 107,868 4d105s1 ...