Табл.2.
Полиномы Эрмита и волновые функции гармонияеского
осциллятора
υ |
|
Корни полиномов |
Графики полиномов |
Графики волновых функций |
0 |
1 |
- | ||
1 |
2s |
0 | ||
2 |
4s 2 - 2 |
±1/√2 | ||
3 |
8s 3 - 12 s |
0; ±3/2 | ||
4 |
16s 4-48s 2+12 |
±0,525; ±1,651 |
Читатель может сам получить формулу для нормировочных коэффициентов или взять их готовое выражение:
. (3.108)
3.5.14.
Прямыми вычислениями нетрудно еще раз проверить свойство ортогональности волновых функций. Интегрирование по всей области возможных значений переменной хдает:
, (3.109)
что наглядно видно из графиков табл. 2
Напомним, что свойство ортогональности – это общее свойство собствен-ных функций любого эрмитова оператора, к числу которых относится и гамильтониан.
3.5.15.
Все полиномы Эрмита и порождаемые ими волновые функции делятся на два класса – четные и нечетные. Ранее подобное свойство наблюдалось у волновых функций “ящика” и “ротатора”. Анализ четности волновых функций и их произведений оказывается очень полезным при оценке различных характеристик системы. Рассмотрим это на примерах.
Покажем, что среднее отклонение колеблющейся системы от положения равновесия равно нулю. Следуя 5-му постулату, запишем для υ
=0:
. (3.110)
Подинтегральное выражение нечетное, так как образовано в виде произве-дения по правилу (чет × нечет × чет)
. Интеграл, взятый в симметричных пределах от нечетной функций, тождественно равен нулю, так что . Это же имеет место и для других состояний.
3.5.16.
Иначе обстоит дело со среднеквадратичным отклонением , на-зываемым среднеквадратичной амплитудой осциллятора. Произведем соответ-ствующие расчеты; вновь обращаясь к 5-му постулату:
, (3.111)
(3.112)
В преобразовании (3.112) использован табличный интеграл
. (3.113)
3.5.17.
Сравним среднеквадратичное отклонение с квадратом ампли-туды, предсказываемой на основе формулы, связывающей классическое и квантово-механическое выражение для полной энергии:
Исследование комплексообразования ПКЭАК с ионами двухвалентных металлов
Актуальность темы
Известно, что
число полиамфолитов и полимерных бетаинов весьма ограничено. Линейные и
слабосшитые полимерные бетаины, содержащие кислотные и основные функциональные
гру ...
Применение каучуков
Фторкаучуки – каучуки
специального назначения, применяемые в производстве изделий и деталей, в
которых должны сочетаться высокая стойкость к действию агрессивных сред и
теплостойкость. Фторкаучуки ...