и используя подста-новки (3.74), можно упростить формулы (3.73) и (3.73а)
, (3.75)
, (3.76)
и для любого из дискретных уровней с номером υ
уравнение Шредингера при-обретает вид:
. (3.77)
3.5.6.
Гамильтониан (3.75) представлен в виде суммы квадратов двух операторов и , связанных коммутационным соотношением (3.76). Используя схему алгебры комплексных чисел (см. раздел 1.3.2
.), попытаемся разложить гамильтониан (3.75) на сомножители, содержащие только первые степени составляющих его операторов
, (3.78)
. (3.79)
3.5.7.
Произведения комплексных чисел коммутативны, поэтому безразличен порядок записи комплексно-сопряженных сомножителей:
(a + ib) (a - ib) = (a - ib) (a + ib) = C·C* =|C|2.
(3.80)
Так как операторы не обладают свойством коммутативности следует ожидать, что операторные произведения и различны и не равны гамильтониану, поэтому требуется исследовать их связь с гамильтонианом. При этом следует помнить, что в силу линейности операторов, слагаемые операторных сумм можно переставлять, а отдельные группы сомножителей можно объединять, так как операторные произведения обладают свойством ассоциативности.
, (3.81)
. (3.82)
Таким образом, произведения операторов и отличаются от гамильтониана на постоянную величину соответственно.
Подставим найденные в (3.81) и (3.82) выражения гамильтониана в уравнение Шредингера (3.77) и перенесем постоянные множители в правую часть полученных уравнений :
(3.83)
(3.84)
3.5.8.
Для выяснения смысла операторов и еще раз подействуем первым из них на обе части уравнения (3.83), а вторым – на уравнение (3.84), т.е. домножим эти уравнения слева на и соответственно:
, (3.85)
. (3.86)
Подставим вместо произведений операторов () и () их выражения (3.82) и (3.81) и опять перенесем постоянные величины Ω
в правую часть уравнений:
(3.87)
. (3.88)
В итоге каждое из уравнений (3.87) и (3.88) приобрело стандартный вид уравнения Шредингера, но собственные функции в них () и () отличны от волновой функции исходного состояния Ψ
Растворы и растворители
Растворы
и растворители. Участие растворителей в кислотно-основном взаимодействии. Протеолитическая
теория кислот и оснований. Способы выражения концентрации растворов. Буферные
растворы и ...
Обмен углеводов
Биосинтетические процессы,
протекающие в клетках, нуждаются не только в энергии, им необходимы также
восстановительные эквиваленты в виде НАДФН+Н + и целый ряд
моносахаридов, имеющих в свое ...
Определение карбонильных и карбоксильных групп в целлюлозе
Природная
целлюлоза характеризуется незначительным содержанием карбонильных групп.
Кетонные и карбоксильные группы в ней практически отсутствуют. При получении
технической целлюлозы из раст ...