Отсюда следует “теорема вириала”, определяющая взаимосвязь между кинетической и потенциальной энергиями в поле центральной силы.

По этой теореме: Кинетическая энергия равна половине потенциальной, но с положительным знаком, а полная энергия равна половине потенциальной и также отрицательна (2.5).

ВНИМАНИЕ! Используется система СГСЕ.

При стационарном движении частицы по кругу в поле центральной кулоновской силы, на замкнутой “круговой орбите” укладывается целое число волн материи

2p r = nl, "nÎN{1,2,3, . }. (4.3)

Использование длины волны де Бройля приводит к выводу о том, что квантованной оказывается величина L, похожая на модуль момента импульса:

L =½mu r ½ = n(h/2p) = nħ, "nÎN. (4.4)

Сочетание уравнений (2.3) и (2.6) показывает, что возможные значения радиуса классической "орбиты" дискретны – квантованы (2.7).

Задача 2.2. Рассчитайте численно боровский радиус.

По теореме вириала соответственно квантованы значения полной энергии (2.9). Результирующее выражение для дискретных энергетических уровней называется формулой Бора.

Для разносторонних расчётов свойств системы, состоящей из двух взаимно обращающихся частиц с конечными массами, следует использовать общую приведённую массу.

Приведённая масса m системы, состоящей из электрона и протона, учитывает их обращение вокруг общего центра масс и мало отличается от массы электрона. Она равна

m= meMp /(me+Mp) =1840/1841

Введя приближение me<< Mp, можно принять m = me.

Формула Бора строго вытекает из решения уравнения Шрёдингера для атома H. Квантово-механический вывод логически строен, но это достигается за счёт весьма существенного усложнения математического аппарата.

Величина a0 = 0.529 Ao называется боровским радиусом. В полуклассической квантовой теории он считается радиусом первой круговой орбиты, на которой электрон движется в основном квантовом состоянии, но эта примитивная картина требует коррекции. Её содержание будет раскрыто лишь в квантовой механике.

На самом деле боровский радиус это расстояние наиболее вероятного удаления электрона от ядра на низшем энергетическом уровне - в основном состоянии атома H.

Задача 4.3. Вычислить ребро кубического ящика, в котором энергия первого электронного возбуждения совпадает с энергией первого перехода в атоме водорода. Сравните размеры атома и “ящика”.

ПРИМЕЧАНИЕ: Решение можно проводить в числах или в виде формул.

Теория к задаче 4.3.

Расстояние между квантованными уровнями энергии частицы в “ящике” зависит от массы частицы и размеров ящика, и квантование проявляется только для микрочастиц в пространстве, соответствующем атомным размерам.

Уровни трёхмерного кубического “ящика” легко получаются суммированием трёх одномерных уровней с учётом движений вдоль трёх направлений.

Возникает три независимых квантовых числа по числу механических степеней свободы.

4.2.1. Движение в ограниченном кубическом объёме.

Здесь L-ребро куба; m= масса электрона; e= заряд электрона.

Суммируя одномерные уровни, получаем

В кубическом ящике все рёбра одинаковы, и его энергетическая постоянная равна Bt=h2/8mL2, и уровни выражаются через неё в виде

Вычисления.

Каждое состояние (в квантовой механике – каждая волновая функция) характеризуется тройкой независимых квантовых чисел (nx, ny, nz).

Основной уровень характеризуется единственным набором возможных квантовых чисел (nx, ny, nz) = (1,1,1).

Меньше 1 квантовое поступательное число не может быть.

Первый возбуждённый уровень характеризуется уже тремя наборами квантовых чисел (nx, ny, nz) =(1,1,2); (1, 2, 1); (2,1,1).