En= n2 (h2/8mL2) "nÎN(1,2,3,…¥) (1.7).

Множество всех уровней называется энергетическим спектром данной системы. Графическое изображение энергетических уровней в масштабеназывается энергетической диаграммой. Для её построения введём постоянную энергии для данного "ящика":

Bt=h2/8mL2 (1.8).

Уровни располагаются тем выше, чем больше эта величина. Её удобно вычислить отдельно. Например, рассмотрим результаты для электрона на расстоянии порядка атомных размеров (примерно L»2-3 Ao).

Расстояние между квантованными уровнями энергии частицы в “ящике” зависит от массы частицы и размеров ящика, и квантование проявляется только для микрочастиц в пространстве, соответствующем атомным размерам.

В системе SI

диэлектрическая константа вакуума в СИ:

1/4pe0=0.8988´10 10 н´м2Кл-2,

масса электрона m=9.1´10-31 кг,

константа Планка h=6.62´10-34 Дж´с;

циклическая константа Планка h’=1.05´10-34 Дж´с;

Длина ящика L=2.5´10-10 м.

В системе CGSE

диэлектрическая константа вакуума в СИ: 1/4pe0=1,

масса электрона m=9.1´10-28 г,

константа Планка h=6.62´10-27 э´с;

циклическая константа Планка h’=1.05´10-27 э´с/рад;

Длина ящика L=2.5´10-8 см.

Подставляя в формулу для постоянной ящика, находим её значение:

Bt=h2/8mL2 = (6.62´10-34 Дж´с) 2 /

[8´9.1´10-31 кг ´ (2.5´10-10 м) 2] =

= 9.63´10-19 Дж2´с2´кг –1´м –2

Размерность: Дж2´с2´кг –1´м –2 = Дж2´ (н-1´м-1) = Дж 2´ Дж-1= Дж

Bt=9.63´10-19 Дж

В системе CGSE эта величина в эргах по модулю на 7 порядков больше:

Bt=9.63´10-12 эрг

Легко построить диаграмму уровней "ящика", откладывая соответствующие отметки на оси ординат – оси энергии (см семинар по ящику с применением уравнения Шрёдингера). В пересчёте к привычной шкале на один моль это даёт

Bt=9.63´10-19´6.023´1023 Дж » 57.7´104 Дж/моль » 577 кДж/моль.

Получен порядок величин энергетических уровней в систем СИ, для частицы, "зажатой" в объём, который примерно вдвое - втрое больше размера атома. Это значение резко и быстро падает, если размер "ящика" возрастает…

На дистанции, скажем в 15 ангстрем (это примерно расстояние между частицами газа при нормальных условиях) это значение упадёт в 36 раз и будет порядка лишь 15 кДж/моль. Дальше-больше!

И это для очень лёгкого электрона.

А если частица уже хотя бы атом водорода, который примерно в в 1840 (»2000) раз более тяжёлая частица, то дистанция между поступательными уровнями становится очень малой – практически неощутимой. Джоули на один моль – этот порядок величины экспериментально неуловим. Возникает практически континуум –непрерывное распределение поступательной энергии молекулярного движения. Этот результат для нас необычайно важен.

Частица на круговой орбите.

Простая количественная модель, позволяющая воспроизвести количественно уровни АО атома H и водородоподобных ионов (формулу Бора) также основана на волнах Де-Бройля.

В этой, также идеальной, задаче вычисления почти столь же несложные, как и в предыдущей.

Мы будем далее многократно иметь дело с её физическим содержанием.

Наша первая цель: пусть эклектическая, “лоскутная”, в какой-то мере теоретически дерзкая и живописная попытка количественно описать уровни реальных физических систем с их хорошо регистрируемыми в эксперименте проявлениями.

Строгость выводов – потом, а сейчас - поскорее к цели .

Задача 2.1.

Получить формулу квантования уровней частицы, обращающейся по круговой орбите.

Условия задачи:

Пусть частица движется по кругу в поле центральной кулоновской силы, создаваемой ядром с порядковым номером Z. Это атом водорода (Z=1) или водородоподобный ион (Z>1). Заряд ядра равен , в его поле движется всего один электрон.

Центростремительная сила, удерживающая частицу на круговой орбите, имеет кулоновскую природу, т.е. обратно пропорциональна квадрату расстояния.