Общая модель волн материи. Формула Де-Бройля. Частица в "ящике" и частица на "орбите"

Самое простое, но очень полезное введение в теорию квантовых эффектов связано с представлениями о волнах материи. Этот подход старый, его очень любил Я.К. Сыркин. Он нагляден. По словам Мелвин - Хьюза "менее всего физико-химика интересует способ получения точной формулы. Ему важно понять, как устроена материя на уровне его интересов химика . ".

Этим и воспользуемся. Ещё не начитаны лекции, а мы уже очень многое сможем обсудить о квантовании важнейших движений, и даже их сравнить…

1. Два взгляда на фотон. Волна света и частица – её носитель

Носители волны света частицы - фотоны.

Это дискретные частицы поля без массы покоя.

Для них справедливы формулы:

Из волновой теории (Максвелл-Хевисайд-Эйнштейн) E=mc2(1.1).

Из квантовой модели света (Планк-Эйнштейн) E= hn, где (1.2).

частота равна n= c/l (1.3).

Сравнивая оба выражения, получаем равенство E = mc2 = hn = hc/l(1.4).

Длина световой волны получается равной l = h / mc= h/pc (1.5).

Величина mc= pc это импульс материального носителя светового поля, фотона – частицы, у которой нет массы покоя.

2. Два взгляда на частицу. Волна материи и механический объект.

Волны Де-Бройля. Импульс и длина волны. Стоячие волны материи.

Суть идеи Де-Бройля в том, что аналогично фотону любое материальное тело характеризуется волновым процессом, а длина такой волны определяется аналогичной же формулой, где скорость фотона - света, заменена механической скоростью V материальной частицы – корпускулы с массой покоя V. В таком случае длина волны материи равна l = h / mV= h/p(2.1).

На замкнутую траекторию движения частицы на линейном интервале должно укладываться целое число стоячих волн. Совсем так же, как и у обычной стоячей волны – у струны, например.

Это легко приводит к двум очень простым и важнейшим моделям движения. Это одно из крупнейших открытий физики начала 20-го века.

С этого началась ядерная и электронная эра.

"…Не следует стесняться истории науки – это один из очень важных аспектов преподавания…" (акад. Я.К. Сыркин и проф.Н.И. Гельперин)

1. Линейное движение на ограниченном интервале–потенциальный ящик. Задача 1. Получить формулу поступательных уровней частицы, движущейся на ограниченном интервале. Использовать формулу Де-Бройля.

Модель движения предельно идеализированная. Тем не менее, она с удивительной общностью описывает ряд фундаментальных эффектов и явлений.

Условия задачи:

В этой простейшей системе частица…

- движется на прямолинейном интервале L между двумя идеально отражающими стенками,…

- претерпевает абсолютно упругие удары о стенки, …

- отражается и движется вспять…

Изменяется направление вектора скорости (импульса), но модуль сохраняется. Это поступательное движение строго периодическое.

Потенциальная энергия внутри “ящика” намного меньше, чем за его пределами, и для простоты принята равной нулю

U(<0x<L) =0(3.1).

Полная энергия частицы содержит только кинетическую составляющую. T=mV2/2=p2/2m (1.1).

Подобно вибрации ограниченной струны, на отрезке пути длиною L может укладываться лишь целое число полуволн де Бройля, и отсюда следует квантование и модуля импульса, и энергии.

Полагая n (l/2) = L "nÎN(1,2,3,…¥), (1.2)

получаем l=2L /n=h/p, (1.3)

а далее p/h = n /2L, (1.4)

откуда p = n h /2L "nÎN(1,2,3,…¥), (1.5)

и кинетическая энергия – она же и полная энергия, поскольку потенциальная равна нулю, естьE=T= p2/2m = n2h2/22L2´2m. (1.6)

Окончательно формула полной энергии предписывает дискретные значения, зависящие от внешнего "чужого" целочисленного параметра - числа nÎN(1,2,3,…),

которое может быть любым в пределах множества N чисел натурального ряда.

Получилась формула квантования энергии в виде дискретных энергетических уровней. Уровни суть просто численные значения полной энергии. Они дискретны - квантованы, и потому нумеруемы: