1.3.4. Сформулируем условие самосопряженности операторов. Выделим из операторных уравнений (1.1) и (1.4) собственные значения и
, не нарушая равенств. Учтем, что символ оператора означает преобразование функции, записанной справа от него.* Поэтому, чтобы не нарушить смысла преобразования, влекущего за собой нарушение равенств (1.1) и (1.4), домножим слева первое из них на
, а второе на
. Затем следует справа домножить каждую из частей (правую и левую) обоих уравнений на произведение дифференциалов всех координат и результат проинтегрировать во всем пространстве изменения аргументов. Сравним ход этих преобразований:
,
;
,
;
,
;
,
.
Вообще говоря, это дело вкуса и удобства. Важно далее всюду соблюдать оговоренные однажды правила математического синтаксиса.
Правые части этих последних равенств равны:
и
Поэтому равны и левые, т. е. получаем равенство (1.5), которое выражает условие самосопряженности операторов, имеющих действительные собственные значения.
(1.5)
1.3.5. В формуле (1.5) представлена функция и ее комплексно-сопряженный "двойник"
, а в общем виде эрмитов оператор
связывает две разные функции f и g аналогичной формулой:
(1.6)
Обратим внимание читателя на то, что процедура комплексного сопряжения оператора и перевод его в
связана с тем, что мнимая единица в качестве численного параметра входит в конструкцию оператора.
1.3.6. Запись уравнений типа .(1,5) и (1.6) можно упростить и одновременно придать им дополнительный смысл, используя символы-скобки и
, предложенные Дираком и называемые бра- и кет-символами соответственно (от англ. brасkets – скобки). Итак, вместо знаков интеграла, функций и дифференциалов переменных, образующих вместе операцию интегрирования, запишем эквивалентные символы:
и
где называется бра-вектором, а
– кет-вектором. В таком случае интеграл от произведения двух функций приобретает вид скалярного произведения
Введение
Колебательные процессы играют существенную роль в
жизнедеятельности различных организмов, определяя основной механизм многих
явлений биологической подвижности (летательные мышцы насекомых, биение се ...
Одноосновные насыщенные карбоновые кислоты
...
Методы выделения и анализа кумаринов в лекарственное растительное сырьё
Физиологическая роль кумаринов до конца не установлена. Известно, что они
участвуют в регуляции роста растений, являясь антагонистами ауксинов; поглощают
ультрафиолетовые лучи, защищая молод ...