1.3.1. Обсудим важнейшие черты операторного уравнения (1.1). Оно предписывает общую алгебраическую схему описания физических свойств стационарных систем в микромире. Эта схема требует, чтобы в качестве операторов физических величин использовались только такие действия или комбинации действий, которые преобразуют волновые функции сами в себя с точностью до постоянного множителя. Соответственно, в качестве волновых функций могут применяться только такие функции, которые способны к подобному преобразованию. Их называют собственными функциями оператора
. Множители
в уравнении (1.1) являются собственными числами или собственными значениями соответствующего оператора
.
1.3.2. Хорошо известно, что простейшее математическое описание периодических процессов достигается с применением алгебры комплексных чисел. Комплексное число С и комплексно-сопряженное с ним С* состоят из одинаковых действительных частей (Rе) и различаются по знаку мнимых частей (Im),
, где
Произведение называется квадратом модуля комплексного числа
Экспоненциальные функции с комплексными показателями имеют тесную связь с тригонометрическими функциями и широко распространены в описании пространственных и временных периодических процессов. Рассмотрим для примера сопряженные функции:
(1.2)
(1.3)
Легко видеть, что квадрат их модуля, равный их произведению, единичен:
Периодичность есть характерная черта стационарных движений в микросистемах, поэтому в квантовой механике широко используется комплексное представление волновых функций, особенно при описании движений, включая вращательную составляющую.
1.3.3. В то время как волновые функции и операторы могут иметь комплексную форму, это недопустимо для собственных чисел операторов в уравнении (1.1), которые изображают измеримые величины и поэтому должны быть только действительными. Из этого вытекает жесткое требование к математической конструкции операторов квантовой механики, сформулировать которое мы сможем несколько ниже.
Очень важно, что не существует никаких математических или физических соображений, которые отдавали бы предпочтение числу или функции перец комплексно-сопряженным двойником. Они равноправны во всех расчетах, так как в конечном итоге приложения комплексных чисел и функций всегда связаны с их модулем. По этой причине уравнение (1.1) и ему комплексно-сопряженное выражение (1.4) физически эквивалентны:
(1.4)
Величина должна быть действительной и равной
, т.е.
Такому требованию отвечают собственные числа так называемых эрмитовых или самосопряженных операторов (Шарль Эрмит – французский математик).
Разработка энергосберегающей технологии ректификации циклических углеводородов
Процесс ректификации
играет ведущую роль среди процессов разделения промышленных смесей. Большая
энергоемкость процесса делает поиск оптимальных схем разделения актуальной
задачей химическо ...
Обозначение констант равновесия межлигандного обмена хелатных комплексов экстрационно-фотометрическим методом
Хелаты настолько широко
вошли в современную химию, что сейчас трудно представить аналитическую лабораторию,
в которой эти соединения в том или ином виде не используются. Это объясняется преж ...