, (4.76)
т.е. и
(4.77)
4.3.5.6. Наконец, мы подошли вплотную к решению важнейшей проблемы – связи квантового числа l со значением квадрата момента импульса и с параметром в уравнении (4.62). Обратимся вновь к уравнению (4.72). В его правой части стоит сумма квадратов операторов. Исследуем её, разлагая на комплексные сомножители по аналогии с задачей о гармоническом осцилляторе. Обозначим их
и
. Их смысл подобен смыслу операторов
(3.79) и
(3.80) – они также являются операторами сдвига состояний.
(4.78)
(4.79)
4.3.5.7. Если в задаче об осцилляторе каждый из операторов сдвигов исследовался в паре с гамильтонианом, то в данном случае сдвиги не будут связаны с перемещением по энергетической лесенке уровней. Здесь мы будем двигаться как бы по энергетической горизонтали в пределах одного вырожденного уровня, пересчитывая состояния с общим модулем |, но с разными его ориентациями. По этой причине удобнее всего рассмотреть последствия перестановок операторов
и
, с оператором
, действие которого на конкретную собственную волновую функцию описывается уравнением (4.69). Составим коммутаторы
и
. Для удобства и сокращения громоздких выкладок объединим символы (+) и (–). Далее всюду будем полагать, что запись индексов в виде столбца (±) означает, что в последующих выражениях верхнему индексу (+) будут соответствовать верхние же знаки в совместных записях и, наоборот, нижнему индексу (–) – знаки внизу, например:
(4.80)
Подставим в (4.80) уравнения (4.78) и (4.79), затем перегруппируем слагаемые
(4.81)
Коммутаторы и
уже выведены выше – формула (4.66). Используем их выражения
т.е. (4.82)
(4.83)
4.3.5.8. Исходя из формулы (4.80), произведение операторов можно записать так
При подстановке (4.82) и (4.83) это дает
(4.84)
Найдем далее результат действия операторов на волновую функцию
, для которой заданы квантовые числа l и m, т.е.
, используя уравнения (4.64) и (4.69):
(4.85)
4.3.5.9. Выражение (4.85) – это по-прежнему операторное уравнение на собственные значения. Оно показывает, что функции соответствует состояние с квантовым числом m+1, т. е увеличенным на единицу по сравнению с исходной функцией
- состояние
. Таким образом, оператор
с полным правом может быть назван оператором повышения состояния (но не уровня!). Аналогично оператор
– оператор понижения, так как функции
соответствует уменьшенное квантовое число –
4.3.5.10. Следовательно, действие операторов повышения и понижения на волновую функцию можно представить так
Исследование способов введения белковых компонентов в синтетический полиизопрен
...
Тонкослойная хроматография и ее роль в контроле качества пищевых продуктов
Хроматография,
обязательно включающая процесс разделения смесей веществ в динамическом режиме,
охватывает не только достаточно обширный раздел аналитической химии, но и лежит
в основе ряда ...
Нестандартные вопросы химии и их решения
1. «Поющая
колба». Выделение энергии в ходе химических реакций происходит обычно в
виде теплоты, света или других электромагнитных излучений. Обсудите возможность
выделения энергии химическ ...